Интернет портал

Планиметрия

Basket-m — Tue, 23 Oct 2012 13:11:15 GMT

Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

Точка

В геометрии, топологии и близких разделах математики то́чкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек.

Прямая

Прямая — одно из основных понятий геометрии.
При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.
Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.
Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства:

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Сумма всех углов равна 360°.

Площадь параллелограмма

где a — сторона, h — высота проведенная к этой стороне.
где a и b — стороны, а — угол между сторонами a и b.
где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности

Трапеция

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Элементы трапеции

Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеции

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен 2ху/(x+у), где х и у — основания трапеции.(Формула Буракова)
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Если диагонали трапеции перпендикулярны, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полусумме оснований.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Площадь

а и b - основания , h - высота.

Формула, где , a и b — основания, и с и d — боковые стороны трапеции.

Окружность
Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Другие определения

Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Через вершину треугольника проведена касательная к описанной окружности
Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
Длина единичной полуокружности обозначается через .
Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Главные свойства окружности:

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Длину дуги окружности радиуса , образованной центральным углом , измеренным в радианах, можно вычислить по формуле .
Длину окружности с радиусом можно вычислить по формуле .
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле и дуги напротив неё.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Длина окружности:

Радиус окружности:

Диаметр окружности:

Площадь круга радиуса R:

Площадь сектора, ограниченного углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности углом α, хордой:

Стереометрия

Basket-m — Tue, 23 Oct 2012 13:08:34 GMT

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.
Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Силы в физике.

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:42:40 GMT

1. Сила гравитационного притяжения.
Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется при посредстве гравитационного поля.
Гравитационные силы направлены вдоль одной прямой, соединяющей взаимодействующие точки, т.е. являются центральными силами.

Закон всемирного тяготения:
Между двумя материальными точками действуют силы взаимного притяжения, пропорциональные произведению масс точек, обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними.

где G = 6,67 · 10^-11 (Н м^2 ) / кг^2 - гравитационная постоянная , m1 , m2 - гравитационные массы материальных точек, R - расстояние между материальными точками.
Закон всемирного тяготения так же справедлив для однородных шарообразных тел. В этом случае R - расстояние между центрами тяжести тел.

3. Сила тяжести.

Сила, с которой Земля притягивает тела называется силой тяжести.

где m - масса тела, g - ускорение свободного падения.
На основании закона всемирного тяготения

где М -масса Земли, m - масса тела.
Так как F = m g , то для ускорения свободного падения у поверхности Земли имеем:

g = 9,80665 м/с^2 ну или = 9,8 иногда пишут = 10.

Но следует отметить , что из-за сплюснутости Земли и ее суточного вращения значения ускорений свободного падения зависят от широты места.

Если тело массой m находится на высоте h от поверхности Земли, то

3. Сила упругости.

Одним из результатов действия силы на тело является деформация тела.
Деформация - изменение формы или размеров тела.
Деформация называется упругой, если после снятия нагрузки тело восстанавливает первоначальную форму и размеры.
Деформация называется пластической, если после снятия нагрузки тело не восстанавливает первоначальную форму и размеры.
Сила, возникающая при упругой деформации тела, называется силой упругости.
Рассмотрим деформации сжатия и растяжения. Эти деформации характерны для нитей, пружин, стержней и т.п. При этих деформациях сила упругости направлена вдоль линии действия внешней силы.

Для упругой деформаций сжатия и растяжения сила упругости определяется согласно закону Гука.
Закон Гука:
Сила упругости возникающая в деформированном тела прямо пропорциональна вектору деформации и противоположна ему по направлению.

где k - коэффициент упругости, L-величина упругой деформации.

4. Сила трения.

Трение - взаимодействие между соприкасающимися телами, препятствующее их относительному перемещению.
Виды трения:
1. трение покоя - трение, характеризующееся отсутствием относительного перемещения соприкасающихся тел.
Сила трения покоя - сила, препятствующая движению одного тела по поверхности другого.

При увеличении значения внешней силы от нуля до некоторого значения движения тела не возникает, следовательно, возникающая сила трения компенсирует внешнюю силу. Т.к. модуль силы трения покоя равен модулю внешней силы, то сила трения покоя принимает значения:

2. трение скольжения - трение, характеризующееся относительным перемещением соприкасающихся тел.

5. Сила сопротивления.

Сила, действующая на тело при его поступательном движении в жидкости или газе, называется силой сопротивления.
Сила сопротивления зависит от скорости тела относительно внешней среды и направлена противоположно вектору скорости тела.

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от скорости тела относительно среды, V - модуль скорости тела относительно среды.

Динамика

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:27:42 GMT

Динамика - раздел механики, в котором исследуется влияние взаимодействия тел на их механическое движение.
Основная задача динамики - определить положение тела в любой момент времени по известным начальным условиям и силам, действующим на тело.

Основные понятия.

Инерция - явление сохранения скорости тела при отсутствии действия на него других тел.
Система отсчета называется инерциальной, если ускорение точки в ней обусловлено только действием на нее других тел. Свободная материальная точка, не подверженная воздействию других тел, относительно такой системы отсчета движется равномерно и прямолинейно.
Инертная масса - физическая величина, мера инертности тела.
Гравитационная масса - физическая величина, мера гравитации.
Гравитационная и инертная массы тождественны друг другу, поэтому будем говорить просто о массе.
Свойства массы:
1. Масса составного тела равна сумме масс составляющих его частей.
2. Масса системы тел остается неизменной при любых процессах происходящих ней (закон сохранения массы).

Сила - векторная физическая величина, мера воздействия на тело со стороны других тел или полей.
Результат действия силы зависит от направления, модуля силы и от точки приложения силы. Результатом действия силы являются изменение скорости тела или деформация.

Первый закон Ньютона
(закон инерции Галилея -Ньютона).

Существуют такие системы отсчета относительно которых поступательно движущиеся тело сохраняет свою скорость постоянной, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
Инерциальность системы отсчета определяется опытным путем, для этого устанавливается отсутствие ускорения, существование которого невозможно объяснить.
В настоящее время экспериментально подтверждено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчета, связанная с центром Солнца и тремя "неподвижными" звездами.
Любая другая система отсчета, движущаяся относительно инерциальной равномерно и прямолинейно сама является инерциальной.

Второй закон Ньютона.

Ускорение, приобретаемое материальной точкой в инерциальной системе отсчета пропорционально действующей на точку силе и обратно пропорционально ее массе и по направлению совпадает с силой.

где a -ускорение тела, F - сила, действующая на тело, m - масса тела.

Если на тело одновременно действует несколько сил, то они могут быть заменены одной силой, называемой равнодействующей и равной их геометрической сумме.

Результирующее ускорение, приобретаемое точкой от воздействия нескольких сил определяется по второму закону Ньютона:

Третий закон Ньютона.

В инерциальной системе отсчета силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, направлены вдоль одной прямой, соединяющей эти точки. Эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Обе силы приложены к разным телам и являются силами одной природы.

Криволинейное движение.

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:20:40 GMT

Любое криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей.

При произвольном криволинейном движении скорость может меняться как по модулю, так и по направлению. Ускорение так же является величиной переменной:

При криволинейном движении ускорение можно разложить на две составляющие:

где первое слагаемое - нормальная составляющая ускорения, второе слагаемое - тангенсальная составляющая ускорения.

Модуль полного ускорения равен:

Модули нормального и тангенсального ускорений соответственно равны:

где V - производная модуля скорости по времени.

Равномерное движение по окружности.

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:17:12 GMT

Скорость движения тела по окружности называют линейной скоростью. При равномерном движении по окружности модуль линейной скорости материальной точки со временем не изменяется, но изменяется ее направление.
Модуль линейной скорости равен отношению пройденного пути к промежутку времени. Учитывая. что при равномерном движении по окружности путь равен длине дуги, то для линейной скорости имеет место равенство:

где l - длина дуги, R - радиус описанной окружности, φ - угол поворота радиус-вектора, t- время движения.
Еще одной характеристикой движения по окружности является угловая скорость. Угловая скорость равна отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот угол пройден.

где ω - угловая скорость.
Связь между линейной и угловой скоростью определяется следующим равенством: V = ω·R

При равномерном движении по окружности линейная скорость изменяется по направлению, поэтому движение по окружности - это движение с ускорением. При равномерном движении по окружности ускорение направлено к центру окружности и называется нормальным или центростремительным ускорением. Модуль ускорения не меняется:

где n -нормальное (центростремительное) ускорение.
Период вращения - промежуток времени, за который тело совершает один полный оборот.

где Т - период обращения.
Частота обращения - число оборотов, совершаемых телом в единицу времени. Частота обращения - величина , обратная периоду.

где ν - частота обращения.

Равноускоренное прямолинейное движение.

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:12:33 GMT

Равноускоренным движением называют движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению. При равноускоренном движении скорость тела изменяется, ускорение остается постоянным. Траектория равноускоренного прямолинейного движения - прямая линия.
Для физических величин характеризующих движение имеем:

Графики зависимости физических величин от времени
при равноускоренном прямолинейном движении.
1. график зависимости проекции ускорения от времени.

2. график зависимости проекции скорости от времени.

3. график зависимости проекции перемещения от времени.

4. график зависимости координаты от времени.

Равномерное прямолинейное движение

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:07:41 GMT

Равномерное прямолинейное движение.

Равномерное движение - движение при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
При равномерном прямолинейном движении скорость тела постоянна, ускорение равно нулю. Траектория равномерного прямолинейного движения - прямая линия.
Для физических величин характеризующих движение имеем:

A = 0
V = const
Sx = Vx· t
x = x0 + Vx· t

Графики зависимости физических величин от времени
при равномерном прямолинейном движении.

1. график зависимости проекции скорости от времени.

2. график зависимости проекции перемещения от времени

3. график зависимости координаты от времени.

Кинематика

Basket-m — Mon, 22 Oct 2012 16:02:20 GMT

Кинематика - раздел механики, в котором изучается механическое движение, без учета масс тел и причин, которые обеспечивают это движение.
Основная задача кинематики - описать движение тела в пространстве в зависимости от времени, не выясняя причин движения.
Основные понятия.

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Рассмотрение любого движения начинают с выбора системы отсчета, включающей в себя: тело отсчета, систему координат и приборы для исследования движения.
Материальная точка - модель тела, размерами которого в рассматриваемых условиях можно пренебречь.
Траектория - линия, вдоль которой движется тело.
Путь - длина траектории.
Перемещение - вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела.

Положение тела в пространстве задается радиус - вектором или тремя его проекциями на оси координат.

Следовательно закон движения - это зависимость радиус-вектора от времени или зависимость координат во времени.

где R -радиус-вектор, x, y, z - координаты тела.
Скорость тела - векторная физическая величина, характеризующая изменение положения тела в пространстве с течением времени.
Средняя скорость перемещения равна отношению полного перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение совершено.

где Vср -средняя скорость перемещения, S - перемещение, ∆ t - интервал времени.
Средняя путевая скорость равна отношению полного пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

где Vср - средняя путевая скорость , l - путь.
Мгновенная скорость - скорость в заданный момент времени.

Модуль мгновенной скорости определяется равенством:

где Vx , Vy , Vz - проекции вектора скорости на оси,

Мгновенная скорость в каждой точке всегда направлена по касательной к траектории. Направление вектора скорости задается косинусами:

где α , β , γ -углы между вектором скорости и осями x, y, z соответственно.

Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

где а- ускорение, дV -изменение скорости, V,Vo - конечная и начальная скорости.

Модуль ускорения определяется равенством:

где - Ax , Ay , Az - проекции вектора ускорения на оси x, y, z соответственно.

как найти НОК и НОД ?

Basket-m — Thu, 11 Oct 2012 14:09:13 GMT

Чтобы сократить записи придумали, что

кратно будут записывать так: , а делит так:

Каждое число является делителем других чисел, которые называются кратными этому числу.

К(22) =

Изобразим множества делителей чисел 18, 24

Д(18) Д(24)={2; 3; 6}

Наибольший из общих делителей – 6, НОД(18; 24)=6

Изобразим множества кратных числам 18 и 22

К(18) К(24)={72; 144; …} – общие кратные 18 и 22

Наименьшее из общих кратных – 72. НОК(18; 24)= 72

Как находить НОД и НОК?

Для чисел 18 и 24 это просто:

- чтобы найти НОД перебираем общие делители 2; 3, пока не находим наибольший -6.

- чтобы найти НОК умножаем 18 на 2, на 3 и так далее, пока не найдем число, которое делится на 24 – это 72

Если же числа большие, то их раскладывают на простые множители

600 2
300 2
150 2
75 3
25 5
5 5
1

и,

108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1

НОД должен содержать все общие множители в наименьшей степени (подчеркнуты): НОД (600; 108)=

НОК должен содержать все множители в наибольшей степени (жирный шрифт): НОК(600;108) = =5400

НОД (27;14)=1, так как у них нет общих делителей, кроме 1. 27=33, а

Такие числа называют взаимно простыми

НОК(27;14)= по той же самой причине, у них нет общих делителей.

Как всегда, новые открытия стали сразу применяться. Удобно использовать методы нахождения НОК при сложении дробей.

Наименьший общий знаменатель – это и есть НОК знаменателей..

НОД(408;90) 1 НОК (408; 90) = 2040

НОД (92; 51)=1– взаимно простые НОК(92;51)=92*51= 4692

НОК - Наименьшее Общее Кратное
НОД - Наибольший Общий Делитель

Примеры или вопросы скидываете вниз, найдем вам и НОК и НОД

Тригононометрия

Basket-m — Tue, 09 Oct 2012 16:25:39 GMT

Ниже приведены основные формулы из тригонометрии.

- формулы числовой окружности
- нахождение синуса и косинуса
- тождества
- чему равно Пи на числовой окружности
- тождества синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арккосинус, арксинус
- число Пи на координатной плоскости
- вычесление квадрата пи с числовой окружностью
и многое другое...

Корень n-степени. Степенные функции

Basket-m — Mon, 08 Oct 2012 09:42:05 GMT

Степенная функция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый масштабный множитель. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Примеры решений:

Логарифмы

Basket-m — Tue, 25 Sep 2012 17:17:32 GMT

Ниже приведены формулы и определения логарифмов.

- основное тригонометрическое тождество
- формула перехода к новому основанию

Формулы сокращенного умножения (многочлены)

Basket-m — Tue, 25 Sep 2012 17:12:54 GMT

Ниже приведены самые главные формулы сокращенного умножения в алгебре.

- квадрат суммы
- квадрат разности
- разность квадратов

- куб суммы
- куб разности
- сумма кубов
- разность кубов

- преобразование к виду многочлена
- размножение многочлена на множители
- преобразование к виду многочлена